La algebriskās izteiksmes faktorinēšana Tā ir procedūra, ar kuru minētā izteiksme tiek uzrakstīta kā vienkāršāku faktoru reizinājums. Citiem vārdiem sakot, faktorējot polinomusMērķis ir atrast locekļus, kurus reizinot, iegūst tādu pašu algebrisko izteiksmi kā oriģinālu. Šis process ir ārkārtīgi svarīgs algebrā, jo tas ļauj vienkāršot vienādojumus un padarīt tos daudz vieglāk pārvaldāmus. Turklāt viens no svarīgākajiem mērķiem, sadalot polinoma faktoros, ir attēlot to kā citu zemākas pakāpes polinomu reizinājumsLai labāk izprastu koncepciju, aplūkosim vienkāršu piemēru:
Algebriskā izteiksme: x(x + y) Reizinot šīs izteiksmes locekļus, iegūstam:
x2 + XY.
Tādējādi: x(x + y) = x2 + XY.
La faktorings Tas ir noderīgs ne tikai tāpēc, ka tas vienkāršo problēmu risināšanu, bet arī tāpēc, ka ļauj identificēt īpašības un attiecības starp algebriskās izteiksmes terminiem.
Kopīgais faktors
Pirms sākat izmantot faktorizācijas metodes, ir svarīgi saprast, ko nozīmē šis termins. kopīgs faktorsMeklējot kopīgo dalītāju polinomā, mēs cenšamies identificēt locekli, kas atkārtojas visos izteiksmes loceklos, ļaujot mums to vienkāršot. Tomēr ir svarīgi paturēt prātā, ka faktorizācija ne vienmēr ir iespējama. Lai notiktu faktorizācija, ir jābūt vismaz vienam kopīgam loceklim, ar kuru strādāt. Pretējā gadījumā tālāka vienkāršošana nav iespējama. Piemēram, izteiksmē:
xa + yb + zc
Tādu nav kopīgs faktors starp locekļiem, tāpēc faktorizāciju nevar veikt. Apskatīsim citu gadījumu, kad tas ir iespējams:
a2x + a2y
Kopējais faktors šeit ir a2. Vienkāršības labad mēs abus terminus sadalām ar šo kopējo koeficientu:
- a2x ir dalīts ar a2, kas dod x
- a2y ir dalīts ar a2, ko tas dod un
Visbeidzot, faktorizētā izteiksme ir:
a2(x + y)
Kopējā faktora izmantošana polinomu faktorinācijā
Daudzos gadījumos dažiem polinoma vārdiem būs a kopīgs faktors, savukārt citi to nedara. Šajos scenārijos būtu jādara a terminu grupēšanalai grupētajiem terminiem būtu kopīgs reizinātājs. Piemēram, izteiksmē:
xa + ya + xb + yb
Mēs varam grupēt terminus dažādos veidos:
(Xa + ya) + (xb + yb)
Ja analizējam grupētos terminus, mēs varam novērot kopīgu faktoru katrā grupā:
a(x + y) + b(x + y)
Visbeidzot, mēs varam faktorēt izteiksmi šādi:
(x + y) (a + b)
Šo metodi sauc par “faktorizāciju grupējot”, un tā ļauj vienkāršot polinomus pat tad, ja ne visiem locekļiem ir viens un tas pats kopīgais dalītājs. Ir svarīgi atzīmēt, ka locekļus var grupēt vairāk nekā vienā veidā, un rezultāts vienmēr būs viens un tas pats. Piemēram, šajā pašā gadījumā mēs varētu grupēt locekļus šādi:
(Xa + xb) + (ya + yb)
Kas atkal noved pie:
x(a+b)+y(a+b)
Galu galā mēs iegūstam tādu pašu rezultātu:
(a + b) (x + y)
Šo procesu atbalsta komutatīvais likums, kas nosaka, ka faktoru secība nemaina galaproduktu.
Uzlabotas metodes: Faktorings, izmantojot ievērojamus produktus
Ir arī citas metodes polinomu faktorēšanai, tostarp izcili produkti. Visizplatītākie ievērojamie produkti ir ideāls kvadrātveida trinomiāls un trinomāls formā x2 + b x + c. Ir arī citi vērā ņemami produkti, taču tos mēdz vairāk attiecināt uz binomiem.
Ideāls kvadrātveida trinoms
Un ideāls kvadrātveida trinomiāls Tas ir polinoms, kas sastāv no trim vārdiem, kas ir binoma kvadrāta rezultāts. Noteikums saka, ka process notiek pēc šādas struktūras: pirmā termiņa kvadrāts, plus divreiz pirmais termiņš reizināts ar otro termiņu, plus otrā termiņa kvadrātsLai faktorizētu perfektu kvadrātveida trinomu, mēs veicam šādas darbības:
- Mēs iegūstam pirmā un trešā termina kvadrātsakni.
- Mēs atdalām saknes ar zīmi, kas atbilst otrajam terminam.
- Izveidoto binomu mēs kvadrātā.
Apskatīsim piemēru:
4a2 – 12ab + 9b2
- kvadrātsakne no 4a2: 2a
- kvadrātsakne no 9b2: 3b
Trinomiāls tiek aprēķināts šādi:
(2.a–3.b)2
X formas trīsvienība2 + b x + c
Šim trinoma veidam ir īpašas īpašības, kas ļauj to vieglāk ņemt vērā. Lai šīs formas trinomāls būtu faktorizējams, tam jāatbilst šādiem kritērijiem:
- Pirmā termina koeficientam jābūt 1.
- Pirmajam terminam ir jābūt kvadrātveida mainīgajam.
- Otrajam terminam ir tāds pats mainīgais, bet tas nav kvadrātā (tam ir eksponents 1).
- Otrā termiņa koeficients var būt pozitīvs vai negatīvs.
- Trešais termins ir skaitlis, kas nav tieši saistīts ar iepriekšējiem.
Šīs faktorizācijas piemērs varētu būt šāds trinomāls:
x2 +9x +14
Lai to ņemtu vērā, rīkojieties šādi:
- Mēs sadalām trinomu divos binomiālos.
- Katra binoma pirmais loceklis ir kvadrātsakne no trinoma pirmā locekļa (šajā gadījumā “x”).
- Binoma zīmes tiek piešķirtas atbilstoši trinoma otrajam un trešajam lielumam (šajā gadījumā pozitīvs).
- Mēs meklējam divus skaitļus, kurus reizinot, iegūst 14, un, saskaitot, iegūst 9 (iespējas ir 7 un 2).
Tādā veidā faktorizētais trinomāls ir:
(x+7) (x+2)
Papildu metodes: Faktorēma un Rufini likums
El faktoru teorēma nosaka, ka polinoms dalās ar polinomu formā (x – a), ja, novērtējot sākotnējo polinomu priekš x = a, rezultāts ir 0. Šī teorēma ir noderīga polinomu sakņu atrašanai un atvieglo faktoringu. To bieži lieto kopā ar Ruffini likumsFaktorizēšana ir vienkāršota metode polinomu dalīšanai. Šie rīki ir īpaši noderīgi, strādājot ar 3. vai augstākas pakāpes polinomiem, kur nav iespējams pielietot vienkāršākas metodes, piemēram, perfekto kvadrāttrinomu vai īpašos reizinājumus. Visbeidzot, ir svarīgi atzīmēt, ka ne visus polinomus var viegli faktorizēt. Dažos gadījumos ir nepieciešams izmantot sarežģītākas metodes vai skaitliskas metodes, lai atrastu polinoma saknes. Tomēr lielāko daļu pamata algebras piemēru var atrisināt, izmantojot šos rīkus. Faktorizēšana ir spēcīgs instruments algebrā, jo tā ļauj vienkāršot sarežģītas izteiksmes un efektīvāk risināt vienādojumus. Apgūstot dažādas polinomu faktorizācijas metodes, mēs varam pielietot ātrākus un efektīvākus risinājumus plašam problēmu klāstam.