Matemātika un universālās konstantes: skaitļi, kas nosaka kosmosu

the Universālās konstantes un matemātika Tie veido dīvainu pāri: no vienas puses, mums ir fiziski skaitļi, kas šķiet ierakstīti pašā kosmosa audumā; no otras puses, abstrakts teorēmu un pierādījumu apkopojums, kura eksistencei nav nepieciešams matērijas atoms. Kad mēs sev jautājam, kāpēc gaismas ātrums, Planka konstante vai gravitācija ir tieši tādi, kādi tie ir, mēs neizbēgami nonākam pie jautājumiem par matemātikas lomu realitātē. Tās pamatā ir dziļas šaubas: ja mēs mainītu… Visuma fundamentālās konstantesVai tā pati matemātika joprojām būtu derīga? Vai varbūt varētu rasties matemātiska loģika un struktūras, kas ir tikpat atšķirīgas kā tā otra Visuma fizika? Izpratne par to, kas ir fizikālās konstantes, kā tās ir saistītas ar mūsu mērvienībām, kuras to daļas ir patvaļīgas un kuras ir patiesi “dabiskas”, ved mūs ceļojumā cauri zinātnes, filozofijas un mūsdienu kosmoloģijas vēsturei.

Kas īsti ir universāla konstante?

Kad fiziķi runā par fizikālā konstanteTie attiecas uz lieluma vērtību, kas mums zināmo fizikālo procesu ietvaros nemainās laikā vai vietā. Gaismas ātrums vakuumā, gravitācijas konstante vai elektrona elementārlādiņš ir tipiski piemēri: lai kur jūs veiktu mērījumus, uz Zemes vai tālā galaktikā, jūs iegūstat vienu un to pašu skaitli (eksperimentālas precizitātes robežās). Tomēr šī vērtība tiek izteikta kā patvaļīgas cilvēku vienībasMetri, sekundes, kilogrami, kuloni… Mūsdienās mēs izmantojam Starptautisko mērvienību sistēmu (SI), kas formalizēta 1960. gadā un kopš tā laika pilnveidota, taču vēstures gaitā mēs esam aprakstījuši vienus un tos pašus lielumus ar ļoti atšķirīgām sistēmām. Tādēļ ir lietderīgi nošķirt divus jēdzienus: no vienas puses, skaitļus, kas ir atkarīgi no mūsu mērvienībām (piemēram, 299 792 458 m/s); no otras puses, tīrus, bezdimensiju skaitļus, kas nemainās pat tad, ja mainām mērvienību sistēmu. Šī atšķirība ir saistīta ar slaveno ideju, kas piedēvēta Einšteinam vēstulē Ilzei Rozentālei-Šneiderei: pastāv šķietamās konstantes un reālās konstantesŠķietamie rodas no mērvienību izvēles un tos var “likvidēt” ar atbilstošu pārdefinēšanu; īstie būtu skaitļi, kas “Dievam bija jāizvēlas”, radot Visumu, autentiski fundamentāli parametri, kas nosaka, kāds ir viss, kas pastāv. Tā sauktie fundamentālās konstantes Tie ir saistīti ar būtiskām fizikālām parādībām un, cik mums zināms, tos nevar aprēķināt no citām konstantēm. Mēs varam tos izmērīt ar arvien pieaugošu precizitāti, bet mēs nevaram secināt to vērtību no dziļākiem principiem. Šī mīklainā daba rosina debates, kas sniedzas tālāk par fiziku: vai tie ir dziļāku likumu produkts, ko mēs joprojām nesaprotam, vai arī tie ir vienkārši “kauliņu mešanas” rezultāts Lielajā Sprādzienā?

Vienības, vienprātība un konstantu loma

Pirms nopietni apspriest universālās konstantes, ir jāsaprot, ka mūsu mērvienības Lielā mērā tās ir konvencija. Marsa klimata orbītas zondes gadījums, kas tika zaudēts metrisko un imperiālo mērvienību sajaukšanas dēļ, ir dramatisks piemērs tam, cik dārgi var maksāt neskaidrības šajā jautājumā. Ilga vēsturiska procesa gaitā Starptautiskā mērvienību sistēma ar septiņām pamatvienībām: metru, kilogramu, sekundi, ampēru, kelvinu, molu un kandelu. No tām ir definētas desmitiem atvasinātu vienību (ņūtons, džouls, paskāls utt.), ko mēs lietojam ikdienā. Interesanti, ka daudzas no šīm vienībām ir pārdefinētas, precīzi fiksējot noteiktu universālo konstantu vērtības. Mūsdienās gaismas ātrums vakuumā, c, tiek pieņemts kā precīza vērtība299 792 458 m/s. Tas nenozīmē, ka gaismai “ir” jāpārvietojas ar šādu ātrumu, bet gan to, ka mēs esam fiksējuši tās vērtību un definējuši metru tādā veidā, kas atbilst tam. Kaut kas līdzīgs notiek ar Planka konstanti, Avogadro skaitli vai cēzija-133 hipersīkstruktūras pārejas frekvenci, ko izmanto, lai definētu sekundi. Lai organizētu konstantu “zoodārzu”, kopš 1966. gada pastāv CODATA (Zinātnes un tehnoloģiju datu komisija)Tā apkopo un iesaka skaitliskās vērtības simtiem fizisko konstantu. Vienā no tās nesenajām kompilācijām ir iekļautas aptuveni 230 konstantes, taču tikai nelielai daļai no tām ir patiesi dziļa konceptuāla nozīme: c, G, h, smalkstruktūras konstante, elementārdaļiņu masas utt.

Daži galvenie fundamentālo konstantu piemēri

Starp visām konstantēm ir neliela grupa, kas darbojas kā fiziskās ēkas mugurkaulsViņu vērtības ir iekļautas visvienkāršākajās teorijās un ietekmē visu, sākot no atomu struktūras līdz Visuma evolūcijai. gaismas ātrums vakuumā, c, ir aptuveni 3·10⁸ m/s. Maikelsona-Morlija eksperiments pierādīja, ka šis ātrums nav atkarīgs no izstarojošā avota kustības, atmetot hipotēzi par “ēteri” kā izplatīšanās vidi. Kopš tā laika Lorenca transformācijas un Einšteina speciālā relativitātes teorija uzskatīja c par nepārvaramu informācijas pārraides robežu. universālā gravitācijas konstante, GTas parādās Ņūtona gravitācijas likumā un Einšteina vienādojumos. Tā, iespējams, ir visvājāk izmērītā konstante no visām: mums ir stingri noteikti tikai daži nozīmīgie cipari. Pat neskatoties uz to, mēs zinām, ka gravitācija ir ārkārtīgi vājš spēks, salīdzinot ar citām mijiedarbībām; ja tā ne vienmēr būtu pievilcīga un nedarbotos plašā mērogā, mēs to tik tikko pamanītu. Planka konstante, hTas iezīmē kvantu skalu: tas nosaka minimālo “darbības kvantu” lielumu un iekļaujas slavenajā enerģijas un frekvences attiecībā E = hν. Tā vērtība ir kļuvusi tik fundamentāla, ka mūsdienās tā ir daļa no pašas kilograma definīcijas. Citas pamatkonstantes ir elementārais lādiņš euz Bolcmana konstante k, Avogadro skaitlis N_A o la gaismas efektivitāte K_cd monohromatiskam starojumam 540·10¹² Hz. Papildus to nozīmei fundamentālajā fizikā, tiem visiem ir ļoti konkrētas izpausmes ķīmijā, bioloģijā, ekoloģijā un tehnoloģijās: tie nosaka, kā molekulas ir organizētas, kā dzīvās sistēmas apmaina enerģiju vai kā mēs kalibrējam sensorus un ierīces.

Šķietamās konstantes, reālās konstantes un tīrie skaitļi

Ne visas konstantes ir vienlīdz dziļas. Dažas, piemēram, Bolcmana konstanteTos būtībā var interpretēt kā konversijas koeficientus starp enerģijas un temperatūras mērvienībām. To skaitliskā vērtība ir atkarīga no mūsu mērvienību sistēmas; ja mēs to mainām, mainās arī skaitlis. Tās ir “šķietamās konstantes”, uz kurām atsaucās Einšteins. patiesās universālās konstantes Stingrākajā nozīmē tiem jābūt bezdimensiju, tīriem skaitļiem, kurus neietekmē mainīgās mērvienības. Kanonisks piemērs ir smalkās struktūras konstante αkas mēra elektromagnētiskās mijiedarbības intensitāti. Tā aptuvenā vērtība ir 1/137, un precīzāk, CODATA iesaka 137.035999084. Šis skaitlis nav atkarīgs no metriem vai sekundēm: tas ir vienāds jebkurai civilizācijai, izmantojot jebkuru saprātīgu mērvienību sistēmu. α apvieno trīsdimensiju konstantes: Planka konstanti, elementārlādiņu un gaismas ātrumu. Savā ziņā, saspiests vienā skaitlī kvantu mehānika (h), elektromagnētisms (e) un speciālā relativitāte (c). Tādēļ fiziķi, piemēram, Feinmans, to sauca par “maģisko skaitli, kas nonāk pie mums nesaprasts”, vai Diraks to raksturoja kā “dziļāko neatrisināto problēmu fizikā”. Vēl viens veids, kā “naturalizēt” konstantes, ir izmantot Planka vienībasŠīs konstantes tiek konstruētas no c, G un h (kopā ar Bolcmana konstanti, ja ieviešam temperatūru). Planka garums, Planka laiks vai Planka masa nosaka mērogus, kuros kvantu gravitācija, domājams, kļūs aktuāla. Šajā mērogā mūsu pašreizējās teorijas vairs nav derīgas, un mēs pieņemam, ka ir nepieciešams pilnīgāks laiktelpas apraksts. No šī viedokļa mēs varam redzēt daudzas konstantes, ko izmantojam ikdienā, piemēram… atvasinātie parametri no dažām patiesi pamatvērtībām. Brīvās telpas dilativitāte, Bora rādiuss vai Faradeja konstante būtu vienas un tās pašas pamatā esošās fizikas dažādas izpausmes, kas pārkodētas būtisku konstantu kombinācijās.

Vai konstantes patiesi ir nemainīgas?

Aizraujoša 20. gadsimta fizikas vēstures daļa griežas ap iespējamās konstantu variācijas telpā vai kosmiskajā laikā. Tā nav tikai skaitļu spēle: ja kāds no tiem kaut nedaudz mainītos, ķīmija un dzīvība, kādu mēs to pazīstam, varētu kļūt neiespējama. Artūrs Edingtons, kurš cita starpā bija slavens ar vispārējās relativitātes eksperimentālu apstiprināšanu 1919. gada aptumsuma laikā, bija apsēsts ar ideju par konstantu vērtību atvasināšanu no tīri matemātiskiem principiem. Viņš mēģināja konstruēt sarežģītus skaitliskus pierādījumus, kas, spēlējoties ar skaitļu attiecībām, “izskaidrotu”, kāpēc noteiktas konstantes iegūst novērotās vērtības. Kādu laiku kolēģi, piemēram, pats Einšteins, ar ziņkāri vēroja šos mēģinājumus, taču drīz vien kļuva skaidrs, ka Edingtons Viņš piespieda matemātiku lai iegūtu vēlamos rezultātus. Viņa konstrukcijas vairāk atgādināja numeroloģiju nekā fiziku. Tomēr viņš iesēja nemiera sēklu, ko citi pārņēma: aizdomas, ka aiz konstantu vērtībām varētu slēpties vēl nezināmas matemātiskas struktūras. Pols Diraks bija viens no tiem, kas uzņēmās šo lomu, kaut arī ar atšķirīgu pieeju. Viņš pamanīja, ka vairāki fundamentālo konstantu kombinācijas Šīs sakritības radīja milzīgus, šķietami saistītus skaitļus, tā sauktos “lielos sakritību skaitļus”. Tas lika viņam izteikt pieņēmumu, ka, iespējams, ne viss ir tīra nejaušība un ka aiz šīm sakritībām varētu pastāvēt vienkārša matemātiska sakarība. 1937. gadā Diraks publicēja rakstu žurnālā Nature, kurā viņš ierosināja, ka gravitācijas konstante G Tas varēja mainīties kosmiskā laika gaitā. Ja tā būtu taisnība, dažas konstantes, kuras mēs uzskatām par universālām, patiesībā būtu lēnām mainīgi parametri. Šī domāšanas līnija ir saistīta ar mūsdienu idejām, kas apsver iespēju, ka noteiktas konstantes patiešām ir atkarīgas no Visuma vēstures vai no vēl neidentificētiem fona laukiem. Novērojumi, pierādījumi par konstantu, piemēram, smalkas struktūras konstante Analizējot tālu galaktiku spektrus, daži pētījumi liecina par “vēlamā virziena” esamību Visumā, kur α varētu iegūt nedaudz atšķirīgas vērtības, kas būtu tiešā pretrunā ar ekvivalences principu un vispārējo relativitātes teoriju. Tomēr lielākā daļa zinātnieku aprindu uzskata pašreizējos pierādījumus par nepārliecinošiem un uzskata, ka šie rezultāti varētu būt saistīti ar sistemātiskām kļūdām vai pārsteidzīgām interpretācijām.

Konstantes, dzīve un antropiskais princips

Ir viens īpaši delikāts aspekts: dzīves jutīgums konstantu vērtībām. Nelielas protona masas, elektrona lādiņa vai elektromagnētiskā spēka intensitātes izmaiņas varētu novērst stabilu atomu, sarežģītu molekulu vai kodolprocesu veidošanos zvaigznēs, piemēram, tādās, kas ražo oglekli. Piemēram, ir aprēķināts, ka, ja smalkstruktūras konstante α mainītos tikai par dažām desmit miljonu daļām, ķīmija, kādu mēs to pazīstam, krasi mainītos. Pieaugot tikai par 4%, tiek lēsts, ka noteiktas kodolreakcijas zvaigznēs pārstātu efektīvi ražot oglekli, izraisot mūsu uz šo elementu balstītās bioķīmijas sabrukumu. Šī šķietamā “smalkā regulēšana” liek dažiem atsaukties uz antropiskais principsTas, ka mēs varam novērot Visumu, jau nozīmē, ka tā konstantēm jābūt atbilstošā diapazonā, lai novērotāji to varētu novērot. Robustākās versijās tiek runāts par iespējamu “multiversu”, kur dažādiem Visumiem būtu atšķirīgas šo konstantu vērtības, un mēs vienkārši apdzīvojam to (vai tos), kur ir dzīvotspējīga dzīvība. Citi zinātnieki ir piesardzīgāki un dod priekšroku uzskatīt precīzu regulēšanu par atklāta problēmaVarbūt dziļāka teorija, kas vēl jāatklāj, obligāti noteiks šo konstantu vērtības, neizmantojot vairākus Visumus vai antropoloģiskus argumentus. Pagaidām mums nav šādas teorijas, tāpēc jautājums paliek pilnīgi atklāts. Jebkurā gadījumā mūsu pašreizējā pieredze liecina, ka fundamentālās konstantes tie, šķiet, neatšķiras Ņemot vērā sasniegto mērījumu nenoteiktību, ne mūsu vidē, ne novērojamajā kosmosā. Ja variācijas pastāv, tām jābūt ārkārtīgi mazām un grūti nosakāmām ar pašreizējām tehnoloģijām.

Teoriju kubs un Planka vienību robeža

Ļoti ilustratīvs paņēmiens konstantu c, G un h lomas izpratnei ir tā sauktais teoriju kubsIeviesa Bronšteins, Gamovs, Ivanenko un Landau. Iedomājieties trīsdimensiju kubu, kur katra ass atbilst vienas no šīm fundamentālajām konstantēm “ieslēgšanai” vai “izslēgšanai” tādā nozīmē, ka tās ietekme tiek uzskatīta par būtisku vai niecīgu. Ja vienlaikus ignorējam gravitāciju (G), relativitāti (c) un kvantu mehāniku (h), mēs paliekam stūrī. klasiskā Ņūtona mehānikaJa ieslēdzam tikai c, mēs nonākam speciālajā relativitātes teorijā; ja ieslēdzam G bez c vai h, mums ir Ņūtona gravitācija; ja ieslēdzam h bez G vai c, mēs pārejam uz nerelativistisko kvantu mehāniku; un tā tālāk, līdz sasniedzam vispilnīgāko “pilnīgāko” stūri, kur visām trim konstantēm ir būtiska loma, un mums vajadzētu būt pilnībā relativistiskai kvantu gravitācijas teorijai. Planka vienības Tie precīzi iezīmē stūri, kur šīs trīs asis krustojas: garumi ir aptuveni 10^-33 cm, reizināts ar 10^-43 un temperatūra ap +10³² K. Tiek uzskatīts, ka Visums pirmajās bezgalīgi mazajās sekundes daļās pēc Lielā sprādziena sasniedza šos ekstremālos apstākļus. Pēc šī punkta mūsu pašreizējās teorijas — vispārējā relativitāte un kvantu lauka teorija — vairs nav uzticamas atsevišķi. Tāpēc tik daudz pašreizējo pūļu ir veltīti, lai formulētu kvantu gravitācijas teorijaNeatkarīgi no tā, vai tie ir stīgu teorija, cilpu teorija vai pieejas “dubultai” vai deformētai speciālajai relativitātei, visi šie priekšlikumi mēģina paplašināt vispārējo relativitāti kvantizētā vai diskrētā laiktelpas struktūrā, kurā konstantes c, G un h tiktu apvienotas jaunā konceptuālā ietvarā. Tikmēr mēs dzīvojam Visumā, kur vispārējā relativitāte ar lielu precizitāti apraksta liela mēroga uzvedību — galaktikas, kopas, kosmisko izplešanos —, un kvantu lauka teorija dara to pašu subatomisko daļiņu mikroskopiskajā sfērā. Universālās konstantes darbojas kā tilts starp abām galējībām, izveidojot masas, garuma un enerģijas mērogus, kas piešķir veselumam koherenci.

Matemātika un konstantes: vai matemātika ir universāla?

Viss iepriekš minētais mūs atgriež pie sākotnējā jautājuma: ja mēs mainītu vērtības fundamentālās konstantesVai matemātika joprojām būtu tāda pati? Lai atbildētu uz šo jautājumu, ir lietderīgi nošķirt divus līmeņus: abstraktu matemātisko struktūru līmeni un konkrēto fizisko modeļu līmeni, ko mēs ar tām veidojam. Pamatpatiesības, piemēram, 1 + 1 = 2 Vai arī aritmētikas elementārās īpašības (komutativitāte, asociativitāte utt.) ir atvasinātas no ļoti vispārīgām loģiskām aksiomām. Šīs aksiomas neatsaucas uz protoniem, elektroniem vai fizikālām konstantēm. No šī viedokļa daudzas matemātikas daļas šķiet neatkarīgs no fiziskās realitātesMēs varētu iedomāties Visumu ar citām konstantēm vai pat bez matērijas, un pierādījumi joprojām būtu derīgi to aksiomatiskajā sistēmā. Jautājums ir, kas Matemātiskās struktūras būtu būtiskas vai “dabiski” Visumā ar atšķirīgu fiziku. Mūsu Visumā Eiklīda ģeometrija ir noderīga aproksimācija mazos mērogos, savukārt izliekta Rīmana ģeometrija ir būtiska gravitācijas aprakstīšanai. Simetrijas grupu teorija ir izšķiroša daļiņu fizikas standarta modelī. Ja fizikālie likumi būtu atšķirīgi, iespējams, dominējošā ģeometrija būtu atšķirīga vai arī eksotisku parādību aprakstīšanai tiktu izmantoti citi loģikas veidi. Matemātikas filozofijā šīs debates bieži tiek apkopotas tādos pretstatos kā Platonisms pret formālismuPlatonisms uzskata, ka matemātiskas vienības pastāv neatkarīgi no mums un jebkura fiziskā Visuma; mēs tās vienkārši atklājam. No šī viedokļa matemātika patiešām būtu “universāla” spēcīgā nozīmē: jebkurš saprāts jebkurā kosmosā, kas sekotu konsekventai spriešanai, nonāktu pie līdzvērtīgām teorēmām. Formālisms un saistītās nostājas matemātiku drīzāk uzskata par noteikumu sistēmas ko mēs konstruējam, lai organizētu simbolus. Tādā gadījumā matemātikas daļas, kuras mēs visintensīvāk izmantotu, būtu spēcīgi atkarīgas no Visuma struktūras, kurā mēs dzīvojam. Citi intelekti citos Visumos varētu izstrādāt ļoti atšķirīgu matemātiku, jo to fiziskā realitāte “pieprasītu” citus konceptuālus rīkus. Neatkarīgi no tā, kādu nostāju mēs ieņemam, mūsdienu fizikas pieredze liecina par kaut ko satraucošu: matemātika pārsteidzoši labi sader kopā ar pasaules struktūru. Dažas konstantes, kas ietvertas relatīvi kompaktos vienādojumos, ļauj mums aprakstīt milzīgu parādību klāstu, sākot no zvaigznes orbītas līdz atoma emisijai. Šī matemātikas “nepamatotā efektivitāte”, kā to nosauca Vīgners, ir viena no lielākajām zinātnes filozofiskajām mistērijām.

Konstantes, cilvēka prāts un zināšanas

Tādi autori kā Makss Planks uzsvēra, ka universālās konstantes Šie ir skaitļi, kurus “neizgudroja cilvēki”, bet gan atklāja dabā, un jebkuram saprātam jebkurā kosmosa nostūrī vajadzētu konstatēt, ka tie ir vienādi neatkarīgi no izmantotajām metodēm vai instrumentiem. Plankam šī invariancija bija pierādījums tam, ka pastāv objektīva fiziskā realitāte, kas ir atdalīta no mūsu prātiem. Tajā pašā laikā fakts, ka mēs esam atkarīgi no tādām konstantēm kā c, G vai o, lai definējiet mūsu mērīšanas standartus Tas parāda, cik lielā mērā mūsu zināšanas ir savstarpēji saistītas ar to, ko mēs nezinām. Kā savā grāmatā par universālajām konstantēm rezumēja Hesuss Navarro, šie skaitļi atspoguļo gan to, ko mēs saprotam par Visumu, gan to, ko mēs joprojām nevaram izskaidrot: mēs zinām to vērtības ar lielu precizitāti, bet mēs nezinām, no kurienes tās “nāk”. Praksē šīs konstantes iezīmē mūsu pašreizējo teoriju robežas. Mēs zinām, ka vispārējā relativitāte darbojas ļoti labi milzīgā mērogu diapazonā, taču tā konceptuāli sabrūk, kad tuvojamies laikiem, kas ir īsāki par Planka laiku, vai garumiem, kas ir īsāki par Planka garumu. Mēs zinām, ka kvantu mehānika veiksmīgi apraksta mikroskopisko pasauli, taču nav skaidrs, kā to eleganti savienot ar gravitāciju ekstremālos mērogos. Tikmēr redzamais Visums turpina attīstīties šo konstantu klusā vadībā. šķietami nemainīgi lielumiTās piešķir kosmosam ritmu, nodrošina atomu un molekulu stabilitāti, padara iespējamu informāciju, ķīmiju un galu galā būtnes, kas spēj uzdot jautājumus par visu šo. Ja mēs kādreiz panāksim teoriju, kas dabiski atvasina konstantu vērtības, iespējams, mēs arī atklāsim, kāpēc noteiktas matemātiskas struktūras, nevis citas, apraksta mūsu pasauli ar tik precīzu precizitāti. Līdz tam laikam universālās konstantes paliks satikšanās vieta starp mūsu vislabāk izveidoto fiziku un mūsu dziļākajām šaubām par realitātes un pašas matemātikas būtību.